[2015년 대진고]

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[2학년 1학기 중간 기하와 벡터]

아래 정육각형 [eqn: rmABCDEF]에서 세 대각선 [eqn: rmAD], [eqn: rmBE], [eqn: rmCF]의 교점을 [eqn: rmO]라고 할 때, 옳은 것만을 보기에서 있는 대로 고른 것은? [4.4점]

⑤

ㄱ. [eqn: vec{rmAB}]와 같은 벡터는 [eqn: 3]개다.

(단, [eqn: vec{rmAB}]는 포함하지 않는다.)

ㄴ. [eqn: rm vec{AC} - vec{ED} - vec{AO} = vec{0}]

ㄷ. [eqn: vec{rmAB} = vec{a}], [eqn: vec{rm BC it} = vec{b}], [eqn: vec{rmCD} = vec{c}]라고 할 때,

[eqn: LEFT | vec{a} + vec{b} - vec{c} RIGHT | =2]이다.

① ㄱ	② ㄱ, ㄴ	③ ㄱ, ㄷ
④ ㄴ, ㄷ	⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

아래 그림의 세 벡터 [eqn: veca], [eqn: vecb], [eqn: vecc]에 대하여 벡터 [eqn: vec { c}=m vec { a}+n vec { b}]라 할 때, [eqn: m-n]의 값은? (단, [eqn: m,``n]은 실수이다.) [4.0점]

③

① [eqn: 1]	② [eqn: 2]	③ [eqn: 3]

④ [eqn: 4]	⑤ [eqn: 5]

한 평면 위의 서로 다른 네 점 [eqn: rmO], [eqn: rmP], [eqn: rmQ], [eqn: rmR]에 대하여
[eqn: vec{rmOP} = vec{a} -2 vec{b}], [eqn: vec {rm OQ}=2 vec { a}+ vec { b}], [eqn: vec { rmOR}=k vec { a}+2 vec { b}]
일 때, 세 점 [eqn: rmP], [eqn: rmQ], [eqn: rmR]가 한 직선 위에 있도록 실수 [eqn: k]의 값을 [eqn: {alpha } over {beta }]라 할 때, [eqn: alpha + beta]의 값은? (단, [eqn: alpha], [eqn: beta]는 서로소이고 [eqn: veca], [eqn: vecb]는 각각 영벡터가 아니고 서로 평행하지 않다.) [4.4점]

⑤

① [eqn: 6]	② [eqn: 7]	③ [eqn: 8]

④ [eqn: 9]	⑤ [eqn: 10]

영벡터가 아닌 벡터 [eqn: vec{{rmBA} _{ n+1} }}]과 [eqn: vec { {rmBA} _{ n} }]이
[eqn: vec{{rmBA} _{n+1}} = {1} over {2} vec{{rmBA } _{n}} (n=1,```2,```3,``` CDOTS )]
과 [eqn: rm LEFT | vec{BA _{1}} RIGHT | + LEFT | vec{BA _{2}} RIGHT | + LEFT | vec{BA _{3}} RIGHT | + LEFT | vec{BA _{4}} RIGHT | =15]을 만족시킬 때, [eqn: lim _{n -> INF } {sum _{k=1} ^{n} LEFT | vec{{rmBA} _{k}} RIGHT |}]의 값은? [4.7점]

②

① [eqn: 14]	② [eqn: 16]	③ [eqn: 18]

④ [eqn: 20]	⑤ [eqn: 22]

아래 그림과 같이 비스듬한 천장에 [eqn: 30rmN](뉴턴)의 물건을 끈으로 매달아 놓았다. [eqn: ANGLE rmAOC=120 DEG], [eqn: rmANGLE BOC=150 DEG]일 때, 끈 [eqn: rmOB]에 작용하는 힘의 크기를 [eqn: a sqrt {b} (rmN)]라 할 때, [eqn: a+b]의 값은? (단, [eqn: rmN](뉴턴)은 힘의 크기를 나타내는 단위이고, [eqn: b]는 소수이다.) [4.2점]

④

① [eqn: 15]	② [eqn: 16]	③ [eqn: 17]

④ [eqn: 18]	⑤ [eqn: 19]

[eqn: vec{a} =(-1,```1)], [eqn: vec{b} =(2,```4)], [eqn: vec{c} =(6,```6)]일 때, [eqn: vec { c}=k vec { a}+l vec { b}]를 만족시키는 실수 [eqn: k], [eqn: l]에 대하여 [eqn: k+l]의 값은? [4.5점]

①

① [eqn: 0]	② [eqn: 1]	③ [eqn: 2]

④ [eqn: 3]	⑤ [eqn: 4]

[eqn: LEFT | vec{a} RIGHT | =2], [eqn: LEFT | vec{b} RIGHT | =4], [eqn: LEFT | vec{a} + vec{b} RIGHT | =5]일 때, [eqn: LEFT | 2 vec{a} - vec{b} RIGHT |]의 값은? [4.4점]

③

① [eqn: sqrt {10}]	② [eqn: 4]	③ [eqn: sqrt {22}]

④ [eqn: 2 sqrt {7}]	⑤ [eqn: sqrt {34}]

두 벡터 [eqn: vec { a}=( sqrt { 2}, ```-2 sqrt { 2})], [eqn: vec{b} =(3,```9)]가 이루는 각의 크기는? [4.5점]

④

① [eqn: {1} over {4} pi]	② [eqn: {1} over {3} pi]	③ [eqn: {2} over {3} pi]

④ [eqn: {3} over {4} pi]	⑤ [eqn: {5} over {6} pi]

아래 삼각형 [eqn: rmOAB]에서 [eqn: vec{rmOA} = vec{a}], [eqn: vec{rmOB} = vec{b}]라 하고, [eqn: bar{rmOA}]의 중점을 [eqn: rmP], [eqn: rm bar{AB}]를 [eqn: 1:2]로 내분하는 점을 [eqn: rmQ]라고 하자. 이때 [eqn: vec{rmPQ} =m vec{a} +n vec{b}]를 만족시키는 실수 [eqn: m], [eqn: n]에 대하여 [eqn: m-n]의 값은? [4.0점]

②

① [eqn: - {1} over {3}]	② [eqn: - {1} over {6}]	③ [eqn: 0]

④ [eqn: {1} over {6}]	⑤ [eqn: {1} over {3}]

아래 그림과 같이 반지름의 길이가 [eqn: 1]인 원 [eqn: O]에 내접하는 정육각형이 있다. 두 삼각형 [eqn: rmOBC]와 [eqn: rmOEF]의 무게중심을 각각 [eqn: rmG _{1}], [eqn: rmG _{2}]라고 할 때, [eqn: vec{rmAG _{1} }], [eqn: vec{rm AG _{2} it}]의 값은? [4.0점]

⑤

① [eqn: {1} over {5}]	② [eqn: {1} over {4}]	③ [eqn: {1} over {3}]

④ [eqn: {2} over {5}]	⑤ [eqn: {2} over {3}]

한 변의 길이가 [eqn: 6]인 정삼각형 [eqn: rmABC]에서 변 [eqn: rmAB]를 [eqn: 2:1]로 내분하는 점을 [eqn: rmD]라 하고, 변 [eqn: rmAC]를 [eqn: 3:1]과 [eqn: 1:3]으로 내분하는 점을 각각 [eqn: rmE], [eqn: rmF]라 할 때, [eqn: rm LEFT | vec{BF} + vec{DE} RIGHT |]의 값은? [4.2점]

①

① [eqn: 2 sqrt {19}]	② [eqn: 4 sqrt {5}]	③ [eqn: sqrt {87}]

④ [eqn: sqrt {91}]	⑤ [eqn: 10]

세 점 [eqn: rmA(1,```3)], [eqn: rmB(-2,```5)], [eqn: rmC(3,```5)]를 꼭짓점으로 하는 삼각형 [eqn: rmABC]의 넓이는? [4.7점]

④

① [eqn: {7} over {2}]	② [eqn: 4]	③ [eqn: {9} over {2}]

④ [eqn: 5]	⑤ [eqn: {11} over {2}]

좌표평면 위의 세 점 [eqn: rmO(0,```0)], [eqn: rmA(2,```2)], [eqn: rmB(0,```4)]에 대하여 다음을 모두 만족시키는 점 [eqn: rmP]가 나타내는 도형의 넓이는? [4.2점]

①

(가) [eqn: vec{rmOP} =m vec{rmOA} +n vec{rmOB}]

(나) [eqn: m GEQ 0], [eqn: n GEQ 0], [eqn: 0 LEQ m+n LEQ 2]

① [eqn: 16]	② [eqn: 18]	③ [eqn: 20]

④ [eqn: 22]	⑤ [eqn: 24]

원 위에 두 점 [eqn: rmA(2,```1)], [eqn: rmB(6,```1)]가 있고, 원 위의 한 점
[eqn: {rmP}(x,```y)]는 [eqn: rm vec{AP} cdot vec{BP} =0]을 만족시킬 때, [eqn: {rmC}(a,```b)]를 중심으로 하는
[eqn: LEFT | vec{rmCP} RIGHT | =r]인 원의 방정식에서 [eqn: a+b+r]의 값은? [4.5점]

②

① [eqn: 6]	② [eqn: 7]	③ [eqn: 8]

④ [eqn: 9]	⑤ [eqn: 10]

두 직선 [eqn: x-1= {4-y} over {2}], [eqn: {x+6} over {3} = {y-2} over {4}]가 이루는 각의 크기를 [eqn: theta]라고 할 때, [eqn: cos theta]의 값은? [4.4점]

②

① [eqn: {1} over {5}]	② [eqn: {sqrt {5}} over {5}]	③ [eqn: {2 sqrt {5}} over {5}]

④ [eqn: {3 sqrt {3}} over {5}]	⑤ [eqn: {4 sqrt {3}} over {5}]

서로 평행하지 않은 두 벡터 [eqn: veca], [eqn: vecb]에 대하여 [eqn: LEFT | vec{a} RIGHT | =3]이고
[eqn: vec{a}cdot vec{b} =2]일 때, 두 벡터 [eqn: vec{a}]와 [eqn: vec{a} -t vec{b}]가 서로 수직이 되도록 하는
실수 [eqn: t]의 값은? [4.6점]

③

① [eqn: {3} over {2}]	② [eqn: {5} over {2}]	③ [eqn: {9} over {2}]

④ [eqn: 2]	⑤ [eqn: 5]

서술형

아래 그림과 같이 한 변의 길이가 [eqn: 1]인 정오각형이 원 [eqn: O]에 내접 할 때, [eqn: rm vec{OA} + vec{OB} + vec{OC} + vec{OD} + vec{OE} = vec{0}] 라고 한다. 이때,
[eqn: vec{rmAB} + vec{rmAC} + vec{rmAD} + vec{rmAE} =k vec{rmOA}]
를 만족시키는 실수 [eqn: k]의 값을 구하는 과정을 서술하시오. [10.0점]

[eqn: k=-5]

평면 [eqn: alpha] 위에 있지 않은 한 점 [eqn: rmP]를 지나고 평면 [eqn: alpha]에 평행한 두 직선 [eqn: l], [eqn: m]에 의하여 결정되는 평면 [eqn: beta]는 평면 [eqn: alpha]와 평행함을 귀류법을 이용한 증명으로 서술하시오. [10.0점]

두 평면 [eqn: alpha]와 [eqn: beta]가 평행하지 않아 교선 [eqn: n]을 가진다 가정하자.

두 직선 [eqn: l]과 [eqn: m]이 모두 직선 [eqn: n]과 평행해야 하므로 모순이다.

좌표평면 위의 두 점 [eqn: rmA(2,```0)], [eqn: rmB(-2,```0)]에 대하여 점 [eqn: rmP]가 곡선 [eqn: y= {4} over {x}] 위를 움직일 때, [eqn: rm LEFT | vec{AP} + vec{BP} RIGHT |]의 최솟값을 구하는 과정을 서술하시오. [10.0점]

[eqn: 4 sqrt {2}]

[2015년 대진고]

[2학년 1학기 중간 기하와 벡터]

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